Актуальность. Проект посвящен исследованию интегрируемости нелокальных нелинейных уравнений типа Шредингера с PT-симметрией. Основной задачей является классификация таких уравнений, доказательство их интегрируемости и получение точных решений с использованием методов обратной задачи рассеяния, Дарбу и Бэклунда. Ожидаемые результаты включают нахождение и анализ точных решений, что внесет вклад в квантовую механику, нелинейную оптику и динамику сложных систем. Проект укрепит научно-технический потенциал Республики Казахстан, повысит конкурентоспособность казахстанских научных учреждений и может найти применение в телекоммуникациях и лазерных технологиях. Планируется публикация двух научных статей в международных рецензируемых журналах, что укрепит позиции Казахстана в мировой научной среде.

Цель. Исследовать интегрируемость и классифицировать нелокальные системы ШМБ, найти их точные решения с использованием классических методов математической физики, а также провести моделирование полученных результатов.

Задачи проекта. Для достижения целей проекта в 2025–2027 годах будут выполнены следующие задачи:

1. Анализ уравнений типа Шредингера (УТШ): Исследование математических и физических свойств УТШ, включая симметрии, нелинейные эффекты и типы решений. Эта задача является основополагающей для понимания свойств УТШ и необходима для корректного вычисления нелокальных аналогов и построения решений. Она служит основой для дальнейших исследований.
2. Классификация нелокальных систем УТШ с PT-симметрией: Получение и классификация новых классов нелокальных уравнений с PT-симметрией. Это важно для выделения систем с особыми симметриями и интересными свойствами, что поможет найти перспективные уравнения для дальнейшего анализа.
3. Исследование интегрируемости нелокальных систем: Доказательство интегрируемости с использованием методов, таких как пара Лакса. Это исследование ключевое для нахождения точных аналитических решений и выявления особых классов нелокальных уравнений с физическими приложениями.
4. Получение точных решений: Решение нелокальных систем с помощью методов преобразования Дарбу, Хироты и Бэклунда. Эти решения являются основным результатом, позволяющим исследовать физическое поведение нелокальных систем и их устойчивость в различных приложениях.
5. Визуализация решений: Построение графиков для точных решений нелокальных УТШ с PT-симметрией для анализа динамических свойств. Визуализация улучшает понимание процессов, описываемых нелокальными системами, и представляет результаты в научных публикациях.

Эти задачи формируют логическую последовательность, которая ведет от теоретического анализа и вычисления новых уравнений до их визуализации и практического применения.

Ожидаемые результаты. По итогам реализации проекта предположительно буду опубликованы 2 (две) статьи в журналах из первых трех квартилей по импакт-фактору в базе данных Web of Science или имеющих процентиль по CiteScore в базе данных Scopus не менее 50.

Планируется публикация монографий/ книг/глав/обзоров в книгах в зарубежных и (или) казахстанских издательствах: не планируется.

Получение патентов в зарубежных патентных бюро (европейском, американском, японском), в казахстанском или евразийском патентном бюро: не планируется.

Разработка научно-технической, конструкторской документации: не планируется.

Распространение результатов работ среди потенциальных пользователей, сообщества ученых и широкой общественности. Результаты работы носят теоретический характер и будут доступны для потенциальных пользователей, сообщества ученых и широкой общественности изданием их в журналах зарубежных престижных научных журналах с импакт-фактором. Кроме того, результаты исследование будут распространены путем выступления на конференциях, симпозиумах и научных семинарах.

Научный и социальный эффект проекта состоит в том, что результаты по тематике проекта, полученные на классическом уровне, сближают нас с дальнейшим этапом исследования солитонных уравнений на квантовом уровне. Что касается социального эффекта, выполнение проекта будет способствовать подготовке высококвалифицированных и конкурентоспособных научных кадров. Которые в свою очередь обеспечат перспективность развития науки Казахстана.

Область применения и целевые потребители. Целевыми потребителями полученных результатов являются ученые, проводящие исследования в аналогичных проектах в области математической физики, дифференциальной геометрии нелинейной среды. Наряду с тем, их можно ввести в виде спецкурсов для магистрантов и PhD докторантов в ВУЗ-х, а также в научных исследованиях в данной области. Исследования по данному проекту имеют фундаментальный характер, в связи с этим они не могут быть коммерциализированный.

Достигнутые результаты

Проведен анализ уравнений типа Шрёдингера для дальнейшего исследования их математических и физических свойств. В ходе анализа были рассмотрены различные формы нелинейных уравнений типа Шрёдингера, включая их классические и обобщённые версии. Особое внимание уделялось структуре нелинейных членов, определяющих поведение волновых пакетов и их устойчивость. Проанализированы связи между параметрами модели и типом возникающих решений — солитонных, эллиптических и рациональных. Отдельно исследованы возможные физические интерпретации уравнений, применимые к задачам нелинейной оптики, квантовой механики и динамики возбуждений в сложных средах. Выявлены особенности симметрий и преобразований, обеспечивающих сохранение интегрируемости системы. Полученные результаты позволяют уточнить подходы к построению точных решений и определить направления дальнейших исследований в области нелокальных моделей.

Выполнено вычисление и классификация нелокальных систем уравнений типа Шрёдингера с PT-симметрией. На основе общих принципов симметрий и редукций получены нелокальные версии уравнений, обладающие свойствами PT-инвариантности. Проведены детальные вычисления, подтверждающие корректность предложенных преобразований и их соответствие условиям интегрируемости. Каждая из систем была классифицирована в зависимости от типа наложенной PT-редукции, знаков параметров и характера нелокальных связей между функциями. Рассмотрены варианты с фокусирующей и дефокусирующей нелинейностью, а также их физические аналоги. Особое внимание уделено случаям, в которых нелокальные взаимодействия приводят к новым типам устойчивых решений. В результате проведённой классификации выделены базовые модели, представляющие интерес для дальнейшего аналитического и численного изучения.

Определены и формулированы  нелокальные системы уравнений типа Шрёдингера с PT-симметрией. Построенные системы основаны на симметричных соотношениях между полем и его зеркально-сопряжёнными компонентами, что обеспечивает выполнение PT-инвариантности. В уравнения включены параметры, отвечающие за баланс усиления и затухания, а также за характер нелокальной связи. Сформулированные модели обобщают известные результаты Абловица и Мусслимани и расширяют класс интегрируемых систем типа Шрёдингера–Максвелла–Блоха. На текущем этапе проводится исследование их совместимости и построение соответствующих пар Лакса. Ведётся работа по проверке сохранения интегралов движения и построению законов сохранения для каждой редукции. Результаты служат основой для применения методов Дарбу и Хироты с целью получения точных решений и анализа их устойчивости.

Проведена классификация найденных систем по их математическим и физическим свойствам, а также создана база данных. Все полученные уравнения систематизированы в зависимости от их структуры, типа нелинейности и формы редукции. Для каждой модели указаны соответствующие условия PT-симметрии, характер взаимодействий и наличие интегрируемой структуры. Проведено сравнение с известными аналогами из литературы, что позволило выделить новые, ранее не описанные типы систем. Создана база данных, включающая аналитические выражения, параметры моделей и результаты численных расчётов. Данная база представляет собой инструмент для дальнейшего анализа, визуализации решений и проверки физических интерпретаций. Полученные результаты создают основу для разработки новых методов классификации и для построения обобщённых моделей в многокомпонентных нелинейных средах.

Исследовательская группа

Закариева Зарует Алмазовна –руководитель проекта, магистр педагогических наук.

H index=1

Web of Science ID LPQ-0230-2024

ORCID (http://orcid.org/0009-0008-6054-0160)

Email.:  Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.

Мырзакулова Жайдары Ратбайкызы –научный консультант, PhD

H index=6

Web of Science ID AAR-9826-2020

ORCID (http://orcid.org/ 0000-0002-4047-4484)

Email.:  Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.

Публикации

Myrzakulova Z.; Zakariyeva Z.; Zhumakhanova A.; Yesmakhanova K. Exact solution of the nonlocal PT-symmetric (2 +1)-dimensional Hirota–Maxwell Bloch system. Mathematics 2025, 13, 1101. https://doi.org/10.3390/ math13071101