Өзектілігі. Жоба PT симметриясы бар Шредингер типті локальды емес сызықтық теңдеулердің интегралдануын зерттеуге арналған. Негізгі міндет – мұндай теңдеулерді жіктеу, олардың интегралдануын дәлелдеу және кері шашырау есебінің Дарбу және Бэклунд әдістерін қолданып нақты шешімдерді алу. Күтілетін нәтижелерге кванттық механикаға, сызықты емес оптикаға және күрделі жүйелердің динамикасына ықпал ететін нақты шешімдерді табу және талдау кіреді. Жоба Қазақстан Республикасының ғылыми-техникалық әлеуетін нығайтады, қазақстандық ғылыми мекемелердің бәсекеге қабілеттілігін арттырады және телекоммуникациялар мен лазерлік технологияларда қолданылуы мүмкін. Халықаралық рецензияланған журналдарда Қазақстанның әлемдік ғылыми қоғамдастықта позициясын нығайта түсетін екі ғылыми мақаланы жариялау жоспарлануда.

Мақсаты. Локалды емес ШМБ теңдеулер жүйесін классификацилау және оның интегралдануын зерттеу, математикалық физиканың классикалық әдістерін қолдана отырып, олардың нақты шешімдерін табу, сондай-ақ алынған нәтижелерді модельдеу.

Жобаның міндеттері. Жобаның 2025–2027 жылдардағы мақсаттарына қол жеткізу үшін келесі міндеттер орындалады:

1. Шредингер типті теңдеулерін талдау (ШТТ) : ШТТ математикалық және физикалық қасиеттерін, оның ішінде симметрияларды, сызықтық емес әсерлерді және шешімдер түрлерін зерттеу. Бұл тапсырма ШТТ қасиеттерін түсіну үшін негізгі болып табылады және локалды емес аналогтарды дұрыс есептеу және шешімдерді құру үшін қажет. Ол әрі қарайғы зерттеулерге негіз болады.
2. PT-симметриясы бар локалды емес ШТТ жүйелерінің классификациясы: PT-симметриясы бар локалды емес теңдеулердің жаңа кластарын алу және жіктеу. Бұл әрі қарай талдау үшін перспективалы теңдеулерді табуға көмектесетін ерекше симметриялары мен қызықты қасиеттері бар жүйелерді анықтау үшін маңызды.
3. Локалды емес жүйелердің интегралдануын зерттеу: Лакс жұбы сияқты әдістерді қолдану арқылы интегралдылықты дәлелдеу. Бұл зерттеу нақты аналитикалық шешімдерді табу және физикалық қолданбалы локалды емес теңдеулердің арнайы кластарын анықтау үшін маңызды болып табылады.
4. Нақты шешімдерді алу: Дарбу, Хирота және Бэклунд түрлендіру әдістерін қолдана отырып, локалды емес жүйелерді шешу. Бұл шешімдер локалды емес жүйелердің физикалық тәртібін және олардың әртүрлі қолданбалардағы тұрақтылығын зерттеуге мүмкіндік беретін негізгі нәтиже болып табылады.
5. Шешімдерді визуализациялау: динамикалық қасиеттерді талдау үшін PT симметриясы бар локалды емес ШТТ нақты шешімдерінің графиктерін салу. Визуализация локалды емес жүйелермен сипатталған процестерді түсінуді жақсартады және ғылыми жарияланымдарда нәтижелерді ұсынады.

Бұл тапсырмалар теориялық талдаудан және жаңа теңдеулерді есептеуден олардың көрнекілігі мен практикалық қолданылуына әкелетін логикалық жүйелілікті құрайды.

Күтілетін нәтижелер. Жобаның нәтижелері бойынша Web of Science деректер базасында импакт-факторы бойынша немесе Scopus деректер базасында CiteScore пайыздық көрсеткіші кемінде 50 болатын алғашқы үш квартильден журналдарда 2 (екі) мақала жарияланады.

Шетелдік және (немесе) қазақстандық баспаларда монографиялар/кітаптар/тараулар/рецензияларды кітаптарда басып шығару жоспарлануда: жоспарланбаған.

Шетелдік патенттік бюролардан (еуропалық, американдық, жапондық), қазақстандық немесе еуразиялық патенттік бюролардан патент алу: жоспарланбаған.

Ғылыми-техникалық және конструкторлық құжаттаманы әзірлеу: жоспарланбаған.

Жұмыс нәтижелерін әлеуетті пайдаланушылар, ғылыми қауымдастық және жалпы жұртшылық арасында тарату. Жұмыстың нәтижелері теориялық сипатқа ие және импакт-факторы бар шетелдік беделді ғылыми журналдарда жариялау арқылы әлеуетті пайдаланушыларға, ғылыми қауымдастыққа және қалың жұртшылыққа қолжетімді болады. Сонымен қатар, зерттеу нәтижелері конференцияларда, симпозиумдарда және ғылыми семинарларда баяндамалар жасау арқылы таратылады.

Жобаның ғылыми және әлеуметтік әсері – жоба тақырыбы бойынша классикалық деңгейде алынған нәтижелер бізді солитон теңдеулерін кванттық деңгейде зерттеудің келесі кезеңіне жақындатады. Әлеуметтік тиімділікке келетін болсақ, жобаны жүзеге асыру жоғары білікті және бәсекеге қабілетті ғылыми кадрларды дайындауға ықпал етеді. Бұл өз кезегінде Қазақстан ғылымының даму болашағын қамтамасыз етеді.

Ауқымы және мақсатты тұтынушылары. Алынған нәтижелердің мақсатты тұтынушылары математикалық физика және бейсызық ортаның дифференциалдық геометриясы саласындағы ұқсас жобаларда зерттеу жүргізетін ғалымдар болып табылады. Сонымен бірге, олар жоғары оқу орындарында магистранттар мен PhD докторанттарға арналған арнайы курстар түрінде, сондай-ақ осы бағыттағы ғылыми зерттеулерге енгізілуі мүмкін. Бұл жоба бойынша зерттеулер іргелі сипатқа ие, сондықтан оны коммерцияландыру мүмкін емес.

Қол жеткізілген нәтижелер.

Шредингер типті теңдеулердің математикалық және физикалық қасиеттерін одан әрі зерттеу үшін талдау жүргізілді. Сызықтық емес Шредингер типті теңдеулердің әртүрлі формалары, соның ішінде олардың классикалық және жалпыланған нұсқалары қарастырылды. Толқындық пакеттердің мінез-құлқын және олардың тұрақтылығын анықтайтын сызықтық емес терминдердің құрылымына ерекше назар аударылды. Модель параметрлері мен пайда болатын шешімдер түрлері - солитон, эллиптикалық және рационалды - арасындағы байланыстар талданды. Сызықтық емес оптика, кванттық механика және күрделі ортадағы қозу динамикасындағы есептер үшін қолданылатын теңдеулердің мүмкін болатын физикалық интерпретациялары бөлек қарастырылды. Жүйенің интегралдануын сақтайтын симметриялар мен түрлендірулер анықталды. Алынған нәтижелер бізге дәл шешімдерді құру тәсілдерін жетілдіруге және жергілікті емес модельдер саласындағы одан әрі зерттеулердің бағыттарын анықтауға мүмкіндік береді.

PT симметриясы бар Шредингер типті теңдеулердің жергілікті емес жүйелері есептелді және жіктелді. Симметриялар мен қысқартулардың жалпы принциптеріне сүйене отырып, ФТ инварианттылық қасиеттері бар теңдеулердің жергілікті емес нұсқалары алынды. Ұсынылған түрлендірулердің дұрыстығын және олардың интегралдану шарттарына сәйкестігін растау үшін егжей-тегжейлі есептеулер жүргізілді. Әрбір жүйе енгізілген PT төмендету түріне, параметрлердің белгілеріне және функциялар арасындағы жергілікті емес байланыстардың сипатына негізделіп жіктелді. Фокустау және дефокустау сызықтық еместігі бар нұсқалар, сондай-ақ олардың физикалық аналогтары қарастырылды. Жергілікті емес өзара әрекеттесулер тұрақты шешімдердің жаңа түрлеріне әкелетін жағдайларға ерекше назар аударылды. Осы жіктеудің нәтижесінде әрі қарай аналитикалық және сандық зерттеу үшін қызығушылық тудыратын негізгі модельдер анықталды.

PT симметриясы бар Шредингер типті теңдеулердің жергілікті емес жүйелері анықталды және тұжырымдалды. Құрылған жүйелер өріс пен оның айна-конъюгаттық компоненттері арасындағы симметриялық байланыстарға негізделген, бұл PT инварианттылығын қамтамасыз етеді. Теңдеулерге күшейту мен әлсіреу тепе-теңдігіне, сондай-ақ жергілікті емес байланыстардың сипатына жауапты параметрлер кіреді. Ұсынылған модельдер Абловиц пен Муслиманидің белгілі нәтижелерін жалпылайды және интегралданатын Шредингер-Максвелл-Блох жүйелерінің класын кеңейтеді. Қазіргі уақытта олардың үйлесімділігі зерттелуде және сәйкес Лакс жұптары құрылуда. Қозғалыс интегралдарының сақталуын тексеру және әрбір тотықсыздану үшін сақталу заңдарын құру жұмыстары жүргізілуде. Нәтижелер дәл шешімдерді алу және олардың тұрақтылығын талдау үшін Дарбу және Хирота әдістерін қолданудың негізі болып табылады.

Алынған жүйелер математикалық және физикалық қасиеттері бойынша жіктелді және дерекқор жасалды. Барлық алынған теңдеулер құрылымына, сызықтық емес түріне және тотықсыздану формасына сәйкес жүйеленді. Әрбір модель үшін сәйкес PT симметрия шарттары, өзара әрекеттесулердің сипаты және интегралданатын құрылымның болуы көрсетілген. Әдебиеттерден белгілі аналогтармен салыстыру жүргізілді, бұл бізге бұрын сипатталмаған жаңа жүйелер түрлерін анықтауға мүмкіндік берді. Аналитикалық өрнектер, модель параметрлері және сандық есептеу нәтижелерін қамтитын дерекқор жасалды. Бұл дерекқор әрі қарай талдау, шешімдерді визуализациялау және физикалық интерпретацияларды тексеру құралын ұсынады. Алынған нәтижелер жаңа жіктеу әдістерін әзірлеуге және көп компонентті сызықтық емес ортада жалпыланған модельдерді құруға негіз болады.

Зерттеу тобы.

Закариева Зарует Алмазовна –проект жетекшісі, педагогика ғылымдарының магистрі.

H index=1

Web of Science ID LPQ-0230-2024

ORCID (http://orcid.org/0009-0008-6054-0160)

Email.:  Бұл электронды пошта мекен-жайы спам-боттардан қорғалған. Көру үшін сіздің браузеріңізде JavaScript қосулы тұруы тиіс.

Мырзакулова Жайдары Ратбайкызы –ғылыми кеңесшісі, PhD

H index=6

Web of Science ID AAR-9826-2020

ORCID (http://orcid.org/ 0000-0002-4047-4484)

Email.:  Бұл электронды пошта мекен-жайы спам-боттардан қорғалған. Көру үшін сіздің браузеріңізде JavaScript қосулы тұруы тиіс.

Жарияланымдар: Myrzakulova Z.; Zakariyeva Z.; Zhumakhanova A.; Yesmakhanova K. Exact solution of the nonlocal PT-symmetric (2 +1)-dimensional Hirota–Maxwell Bloch system. Mathematics 2025, 13, 1101. https://doi.org/10.3390/ math13071101